4 тарауды пысықтауға арналған есептер

4.1. (4.3) қатынасын қанағаттандыратын  кернеу тензорының девиаторы , сол қатынаспен анықталған  тензорының девиаторы  – ға тең екенің дәлелде.

4.2.  мұндағы  – тұрақтылар, теңдігі орындалатын сығылмайтын стокс сұйықтығының орташа нормалдь кернеуі – ді анықтаңыз.

4.3. Кемелденген (Клапейрон теңдеуі орындалады) идеал газдың адиабаталық ағысы баротропты ағыс болады және келесі теңдеумен сипатталады: , мұндағы  – тұрақтылар және  тұрақты қысым мен көлем кезіндегі жылу сиымдылық қатынасы. Мұндай процесс үшін температура мен тығыздық арасындағы және температура мен қысым арасындағы қатынасты анықтаңыз.

4.4. Көлемдік тұтқырлығы нөл болатын, яғни  ньютон сұйықтығы үшін анықтауыш теңдеуді анықтаңыз.

4.5. (4.9) түріндегі анықтауыш теңдеуі бар ньютондық сұйықтықтың кернеу қуатының  өрнегін табыныз.

4.6. Ньютондық сұйықтықтың орташа нормаль қысымы  термодинамикалық қысым – ға тең болатын шартты анықтаңыз.

4.7. Ньютонық сұйықтықтың (4.22) Навье-Стокс-Дюгема қозғалыс теңдеуі дұрыс жазылғандығын тексер. Егер жылуөткізгіштік (4.20) Фурье заңына бағынатын болса, (4.17) энергия теңдеуінің түрі қандай болатының анықта.

4.8. Көлемдік тұтқырлық коэффициенті нөл болатын ньютондық сұйықтықтың,  көлемі бар  тұйық бетіне әсер ететін  қосынды беттік күштерін табыныз.

4.9. Осесимметриялық ағындағы  осінің бағытындағы жылдамдық  және – дің функциясы болады. Мұндағы . Егер жылдамдық векторы , мұндағы  – радиаль бағытындағы бірлік вектор, формасында берілсе, үзіліссіздік теңдеуінің түрі қандай болатының дәлелде.

4.10.  жазықтығына паралелль екі өлшемді ағыста,  жылдамдық компоненті және  нөлге тең. Мұндай жағдай үшін Навье-Стокс теңдеуін және сығылмайтын сұйықтықтың үзіліссіздік теңдеуіннің түрін анықтаңыз.

4.11. Атмосфералық ауаны, температурасы , мұндағы  – Жер деңгейіндегі температура,  – Жерден жоғары қарай саналады, түрінде сызықтық биіктікпен өзгеретін кемелденген газ деп санауға болады. Гидростатика жағдайындағы атмосфералық қысымды – тің функциясы түрінде анықтаңыз.

4.12. Баротропты сұйықтық ,  – тұрақтылар, түріндегі теңдеумен сипатталады. Сұйықтық,  осінің бойында әсер ететін ауырлық күштер өрісінде тыныштықта болады. Сұйықтықтағы қысымның – тен тәуелді таралуын анықтаңыз, егер  болғанда, ол – ге тең болса.

4.13. Сығылмайтын сұйықтықпен толтырылған кең ыдыс  осінің бойында әсер ететін ауырлық күштер өрісінде  түріндегі тұрақты үдеумен қозғалады. Ыдыстағы сұйықтықтың еркін бетінің көлбеулігін табыңыз.

4.14. Егер сұйықтықтың ағысы өте ақырын, яғни жылдамдықтың екінші ретті және одан жоғарғы мүшелерін ескермеуге болатындай болса, онда қозғалыс жылжымалылығы деп аталатын шектік жағдай пайда болады. Мүндай жағдайда, нөлдік массалық күштері бар сығылмайтын сұйықтықтың қалыптасқан қозғалысы гармоникалық функция, яғни  болатының дәлелде.

4.15. Иірімсіз қозғалыс үшін үзіліссіздік теңдеуін және Навье-Стокс-Дюгема теңдеуін жылдамдық потенциалы  арқылы өрнекте.

4.16.  түріндегі күй теңдеуі бар сұйықтықтың баротропты ағысы кезіндегі қысым функциясы – ді анықтаңыз. Мұндағы  – тұрақтылар.

4.17. Тоқ сызығының бойында (4.37) Эйлер теңдеуін интегралдау арқылы (4.39) теңдеуін алу тәсілін анықтаңыз.

4.18. 10.7-есептегі күй теңдеуі бар сұйықтық үлкен жабық резервуардан, тегіс жіңішке түтік арқылы ағады. Ағыс баротропты. Резервуардағы қысым  атмосфераға тең. Резервуардан ағып шыққан кездегі ағыс қысымы атмосфералық қысымға тең деп есептеп, газдың ағу жылдамдығын анықтаңыз.

4.19. Потенциальдық массалық күштері бар, тұтқыр емес баротропты сұйықтықтың циркуляциясының өзгеру жылдамдығы нөлге тең екенің дәлелденіз.

4.20.  түріндегі жылдамдық өрісі бар, екі өлшемді ағыстың,  квадратының контурының бойындағы циркуляция жылдамдығын анықтаңыз.

4.21. (4.45) газ динамикасының теңдеуін қорытып шығар және бұл теңдеулерді жылдамдық потенциалы  арқылы өрнекте.

4.22.  функциясы Лаплас теңдеуін қанағаттандыратының дәлелде. Жылдамдық компоненттерін табыныз және қозғалысты сипаттаныз.

4.23. Тоқ функциясы  тоқ сызығының бойында тұрақты екенің дәлелде.

4.24.  функциясы сығылмайтын сұйықтықтың жылдамдық потенциалы болатындығын тексер және ол арқылы берілген ағысты сипатта.

4.25. Жылдамдық потенциалы  берілген. Мұндағы . Бұл ағыс үшін тоқ функциясы – ді анықтаңыз.